合数的意义是什么(素数和合数在数学中有哪些作用?)
2024-12-04 08:00:31
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素数和合数在数学中有哪些作用?
首先,明确素数和合数的定义,素数就是大于>1且其因数只有1和本身两个的正整数,大于>1的不是素数的正整数就是合数。因此,1既不是素数,也不是合数,2,3,5,7,11,13,17,19,…,等是素数,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…,等是合数。于是,素数n就是d(n)=2的正整数n,合数n就是d(n)大于等于≥3的正整数n。
其次,认识素数和合数在数学中的应用。实际上,由Euclid定理知道素数有无穷多,即如果记π(x)为不超过实数x的素数的个数,则π(x)趋向正无穷(当x趋向正无穷时),即limπ(x)=正无穷,由算术基本定理,任何大于>1的正整数n都可以分解为若干个素数的乘积,所以,素数就是正整数的生成因子,是搭建正整数的基本积木块,素数的全体所成集合P在正整数所成的集合N中是一个“零测度”的集合,lim mesP/mes N=0。在正整数集合证N中随机取一个正整数n,则n为合数的概率为1,在N中随机取两个正整数n,k,则(n,k)=1的概率为6/π^2,这是两个很经典的概率数论的结论,值得好好掌握其证明技巧与方法,也要理解其应用。
素数和合数的概念已经有几千年了,关于素数的研究结论也有很多,很丰富,可参考《素数论》一书,法国戴南姆斯著。